СТАТЬИ АРБИР
 

  2018

  Октябрь   
  Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 1 2 3 4
   

  
Логин:
Пароль:
Забыли свой пароль?


Приближенный аналитический метод вычисления интегралов френеля


ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ФРЕНЕЛЯ

Аннотация: Предложен и реализован новый метод аппроксимации тригонометрической функции у(х) = с о s (х2) на отрезке [ 0 ; д] в виде алгебраического полинома (многочлена) седьмой степени относительно независимой переменной х. Показано, что пользуясь полученной аппроксимацией, можно найти приближенно неопределенный интеграл (интеграл Френеля), а также вычислить приближенно определенный интеграл (интеграл Френеля) от рассматриваемой функции на отрезке [0; д] . Разработанный метод можно применять также по отношению к другим интегралам, не выражающимся через элементарные функции.

Ключевые слова: аналитически заданная функция, аппроксимация функции, алгебраический полином (многочлен) седьмой степени относительно независимой переменной, интеграл Френеля, интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

На заданном отрезке [ 0 ; д] рассмотрим функцию

у (х) = со s (х 2 ) . (1)

Поставим задачу: аппроксимировать функцию (1) на этом отрезке.

Найдем от функции (1) производные по до третьего порядка включительно:

у '(х) = — 2 х ■ sin (х2) , (2)

у "(х) = — 2 ■ [sin (х 2 ) 2 х 2 ■ со s (х2 ) ] , (3)

. (4)

Вычислим значения функций (1)-(4) в граничных точках отрезка [ 0 ; д] :

у(0) = 1 (5), у'(0) = 0 (6), у "(0) = 0 (7), у "(0) = 0 (8),

у(д) = соб(д2) (9), у (тг) = — 2д ■ sin(7r2) (10), у \л) = —2[sin(7T2) 27Г2 ■ СОб(д2)] (11), у (л) = —4л ■ [3 ■ соб(д2) — 2л2 ■ sin(7r2)] (12).

115

■ а7 7Г6 ■ а6 л5 ■ а5 л4 ■ а4 = соб(л2) — 1,

= л 1 0 [3 (3 5 — 8л4) ■ со s (л2) л2 (7 5 — 4л4) ■ sin (л2) — 1 0 5 ] , (40)

57 = Д 7/Д = 2 [3 (3 л4 — 1 0) со s (л2 ) 2 л2 (л4 — 1 2 ) sin (л2 ) 3 0] / (3 л7) , (41)

56 = Д 6/Д = [1 0 (7 — 2 л4) ■ со s (л2) л2 (5 5 — 4л4) ■ sin (л2 ) — 7 0] /л6 , (42)

55 = Д 5 /Д = 2 [ (1 1 л4 — 42 ) ■ со s (л2 ) 2 л2 (л4 — 1 6) ■ sin (л2 ) 42 ] /л5 , (43)

(44)

Подставляя значения (41)-(44) коэффициентов а7, а6, а5 и а4 в (27) и совершая алгебраические преобразования, получаем аппроксимацию функции у (х) = со s (х2) на отрезке [0; л] в виде алгебраического полинома седьмой степени относительно независимой переменной х:

у(х) = {2[3(37г4 — 10) соб(л2) 2л2(л4 — 12) sin(7r2) 30] ■ х7

37г[10(7 — 27Г4) ■ cos(7r2) 7г2(55 — 47Г4) ■ sin(7r2) — 70] ■ х6

67Г2[(117Г4 — 42) ■ cos(7r2) 2л2(л4 — 16) ■ sin(7r2) 42] ■ х5

7г3[3(35 — 87Г4) cos(7t2) 7г2(75 — 47Г4) sin(7r2) — 105]х4

(45)

Поставим задачу: найти неопределенный интеграл от функции у (х) (1), заданной на отрезке [ 0; л] :

(46)

Из курса математического анализа известно, что неопределенный интеграл (46):

а) называется интегралом Френеля;

б) не выражается через элементарные функции.

Заменив в (46) функцию у (х) (1) на функцию у (х) (45), сведем задачу нахождения неопределенного интеграла (46) от функции (1) на отрезке к эквивалентной задаче нахождения неопределенного интеграла от ее

аппроксимации :

/ у (х) 5х ~ / у (х) 5х = F (х) С, (47)

где С- произвольная постоянная, F (х) - первообразная функция для функции у (х) (45) на отрезке [ 0 ; л] ;

F(x) = {35[3(37г4 — 10) cos(7г2) 2л2 (л4 — 12) sin(7r2) 30] ■ х8

607г[10(7 — 2л4) ■ cos(7r2) 7г2(55 — 4л4) ■ sin(7r2) — 70] ■ х7

1407г2[(117г4 — 42) ■ cos(7r2) 2л2 {л4 — 16) ■ sin(7r2) 42] ■ х6

287г3[3(35 — 8л:4) cos(7t2) л2(75 — 4л4) sin(7r2) — 105]х5

42 0л7 ■ х]/ (42 0л7) . (48) Имея F (х) (48), вычислим определенный интеграл от функции (45) на отрезке [ 0 ; л] , применяя формулу Ньютона-Лейбница:

f" У00 dx = Р(х) П0=Р00 - F(0) =

= л ■ [ (2 1 0 — 1 7л4) со s(л2) 2 л2(40 — л4) sin (л2) 2 1 0] /42 0. (49)

Очевидно, что найденное значение (49) является приближенным значением определенного интеграла от функции у (х) (1) на отрезке [ 0 ; л] :

f" соs(х2) dx * f"y(х) dx. (50)

Применяя аналогичную методику на отрезке [ 0; л] к функции

у (х) = s in (х 2 ) , (51)

вычислим приближенно другой интеграл Френеля:

J” sin(x2) dx «

* л ■ [ (2 1 0 — 1 7л4) sin (л2) 2 л2 (л4 — 40) со s (л2) 1 0л2] /42 0. (52)

Разработанный приближенный метод можно применять также по отношению к другим интегралам, не выражающимся через элементарные функции.

УДК 539.183.5


Гордеев Н.И., к.т.н., доцент, Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова, г. Чебоксары





МОЙ АРБИТР. ПОДАЧА ДОКУМЕНТОВ В АРБИТРАЖНЫЕ СУДЫ
КАРТОТЕКА АРБИТРАЖНЫХ ДЕЛ
БАНК РЕШЕНИЙ АРБИТРАЖНЫХ СУДОВ
КАЛЕНДАРЬ СУДЕБНЫХ ЗАСЕДАНИЙ

ПОИСК ПО САЙТУ