Практические аспекты теории фракталов

Практические аспекты теории фракталов

Современная прикладная математика располагает большим набором методов, позволяющих осуществить аппроксимацию и интерполяцию экспериментальных дан-ных. Наиболее известными являются случаи, когда говорят о приближении (замене) имеющихся данных с помощью некоторой гладкой функции или набора таких функций.

Однако многие исследования в различных отраслях науки требуют представления реальных объектов и процессов без сглаживания их формы, приводящего к необос-нованному упрощению описания их структуры и организации. В качестве примеров можно привести сложную геометрию пористых материалов, описание кривизны неровных поверхностей, сетку трещин при разрушении твёрдых тел, пути распространения молний, биологические конфигурации (например, кровеносная система человека) и многое другое. В природе ветвящиеся, спиралеобразные, дробленые структуры встречаются всюду. Именно такие сложные по форме и организации структуры получили название фракталов.

Слово фрактал введено в 1975 году Б. Мандельбротом. Оно произведено от латинского fractus, от которого происходят английские термины fraction, fractional - дробь, дробный. С математической точки зрения фрактал - это, прежде всего, множество с дробной размерностью.

Следует также отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения.

Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура отвечает каким-либо из перечисленных ниже свойств:

обладает нетривиальной структурой на всех шкалах (в отличие от регулярных фигур таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции);

является самоподобной или приближенно самоподобной;

обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую;

может быть построена при помощи рекурсивной процедуры.

Несмотря на незначительный срок с момента своего появления, теория фракталов сегодня имеет большое практическое применение. Наиболее полезным использо-ванием фракталов является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом цифровые изображения сжимаются гораздо лучше, чем это делается классическими методами (например, такими как jpeg или gif).

Известна система назначения IP-адресов в сети NETSUKUKU, которая использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. В этой системе принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную и, следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

В математике и физике фракталы используются при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п.

Фрактальная геометрия сегодня успешно используется при проектировании приемо-передающих антенн. В частности, в каждом современном мобильном телефоне или смартфоне имеется такая антенна.

Также фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и т. д. Фракталы послужили основой нового направления в изобразительном искусстве, называемого также математическим или фрактальным. В математическом искусстве с помощью простейших формул и алгоритмов получаются картины необычайной красоты и сложности. Сегодня стало модным использовать для оригинального и неповторимого оформления дома, офиса, ресторана или клуба фракталь-ные изображения.

Таким образом, фракталы позволяют пересмотреть наши взгляды на геометрические свойства природных и искусственных объектов. Разрабатываемые на основе этих понятий теории открывают новые возможности в различных областях знаний, в том числе в информационных и коммуникационных технологиях.

УДК 004.42

Количество показов: 700